Prerrequisitos
Algebra Matricial : matriz inversa, sistemas de ecuaciones lineales, tipos de matrices, operaciones con matrices, triangularización de matrices, factorización de matrices, etc.
- Ortogonalización y Aproximación mínimo cuadrática : método de Gram-Schmidt, proyección ortogonal, ajuste de datos por mínimos cuadrados, etc.
- Teoría Espectral : valores y vectores propios de una matriz, transformaciones de semejanza, diagonalización de una matriz, forma canónica de Jordan de una matriz.
- Resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales. .Métodos analíticos.
- Funciones de varias variables.
- Sucesiones y series de funciones.
- Ecuaciones en derivadas parciales.
- Conocimiento de algún lenguaje de programación, especialmente PASCAL o C.
Programa de la asignatura
- ERRORES, ALGORITMOS Y CONVERGENCIA.
- RESOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
- Métodos directos.
- Métodos iterativos.
- Técnicas de optimización.
- RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES NO LINEALES.
- Ecuaciones no lineales.
- Sistemas de ecuaciones no lineales.
- TECNICAS DE INTERPOLACION.
- Interpolación Polinómica: Polinomios de Legendre, Chebyshev, etc
- Interpolación Segmentaria: Splines.
- Interpolación con superficies.
- DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA.
- Técnicas de Diferencación numérica.
- Técnicas de Integración numérica para integrales definidas, impropias, infinitas y múltiples.
- TEORIA DE APROXIMACION.
- Ajuste de datos por modelos lineales y no lineales.
- Aproximación de funciones.
- Aproximación polinomial.
- Transformada discreta de Fourier.
- CALCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS.
- Técnicas numéricas para aproximar los valores y vectores propios de una matriz.
- Descomposición en valores singulares.
- METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES.
- Problemas de valor inicial ara ecuaciones diferenciales y sistemas.
- Problemas de frontera. Método de elementos finitos.
- ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES.
- Métodos en diferencias finitas.
- Algunas funciones especiales: Bessel, Legendre, etc.
- TECNICAS DE OPTIMIZACION.
- Programación Lineal: Método del Simplex.
- Extremos de funciones de varias variables.
- Errores, Algoritmos y Convergencia.
- ¿Qué problemas se pueden resolver mediante técnicas numéricas?.
- Tipos de errores.
- Aritmética del ordenador.
- Expansión del error de redondeo. ¿En qué medida se puede controlar?.
- ¿Qué es un algoritmo?. Tipos de algoritmos.
- Convergencia y velocidad de convergencia.
- Resolución numérica de Sistemas de Ecuaciones Lineales.
- Motivación : Problemas de redes eléctricas, distribución del potencial en un condensador, etc.
- Conceptos generales.
- Métodos directos: Variantes del método de Newton.
- Métodos iterativos. Criterios de convergencia.
- Método de Jacobi y de Gauss-Seidel.
- Métodos de relajación.
- Número de condición de una matriz. Matrices mal condicionadas. Refinamiento iterativo.
- Técnicas de optimización. Método del gradiente y del gradiente conjugado.
- Resolución numérica de Ecuaciones no Lineales.
- ECUACIONES NO LINEALES.
- Motivación: Problemas físicos que conducen a este tipo de ecuaciones.
- Conceptos generales: Algoritmos iterativos y de punto fijo. Convergencia lineal y cuadrática. Criterios de convergencia.
- Aceleración de la convergencia: método (2 de Aitken y método de Steffensen.
- Algoritmos de localización de raíces.
- Métodos de Bisección y Regula Falsi.
- Método de Punto Fijo. Condiciones de convergencia.
- Método de Newton-Raphson. Condiciones para la convergencia cuadrática.
- Variantes del método de Newton-Raphson.
- Relación entre la convergencia de los métodos anteriores y la multiplicidad de la raíz.
- Determinación de las raíces de un polinomio: Método de Muller y método de Bairstow.
- METODOS NUMERICOS DE RESOLUCION DE SISTEMAS NO LINEALES.
- Introducción : Problemas físicos que dan lugar a este tipo de sistemas. Discretización de ecuaciones integrales.
- Conceptos generales.
- Método del Punto Fijo.
- Método de Newton. Condiciones de convergencia.
- Variantes del método de Newton. Métodos Quasi-Newton.
- Técnicas de optimización. Algoritmo de descenso rápido.
- Interpolación Polinómica.
- Motivación: Problemas de estimación. Aproximación de funciones.
- Los polinomios de Taylor.
- Interpolación Polinómica: Polinomio de Lagrange. Error de interpolación. Polinomios óptimos.
- Interpolación en los nodos de Chebyshev.
- Diferencias divididas: Polinomio de Newton.
- Aproximación por Splines: splines lineales y cúbicos.
- Polinomios osculadores. Interpolación de Hermite.
- Interpolación inversa.
- Interpolación en varias variables.
- Diferenciación e Integración Numérica.
- Motivación: Integración de funciones tabuladas.
- Fórmulas de diferenciación numérica.
- Técnica de Extrapolación de Richarson.
- Integración numérica: Fórmulas de Newton-Cotes.
- Fórmulas de integración numérica compuesta.
- Método de Romberg.
- Métodos de integración para nodos no equiespaciados: Cuadratura de Gauss.
- Integrales con discontinuidades infinitas en [a,b].
- Integrales infinitas.
- Algoritmos para integración múltiple.
- Teoria de Aproximacion.
- Motivación: Problemas de ajuste de datos y aproximación de funciones.
- Aproximación discreta por mínimos cuadrados: modelos lineales y no lineales. Error cuadrático e índice de determinación.
- Aproximación de funciones. Polinomios de Chebyshev.
- Aproximación por funciones racionales.
- Aproximación polinómica trigonométrica: Series de Fourier.
- Polinomio trigonométrico interpolante.
- Transformada discreta de Fourier. Algoritmo de la FFT.
- Cálculo de Valores y Vectores Propios.
- Introducción: Problemas que justifican la necesidad de las técnicas numéricas de cálculo de valores y vectores propios.
- Conceptos generales.
- Métodos de determinación del polinomio característico.
- Métodos iterativos: Método de potencia, inversa y trasladada.
- Métodos basados en transformaciones matriciales. Métodos de Jacobi, Householder y Givens.
- Métodos de factorización. LR y QR.
- Descomposición en valores singulares. Algoritmo de Golub-Reinsch.
- Métodos numéricos para Ecuaciones Diferenciales.
- PROBLEMAS DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONES DIFERENCIALES Y SISTEMAS.
- Motivación : Problemas físicos que conducen a este tipo de ecuaciones.
- Convergencia y velocidad de convergencia de un método numérico para PVI. Estabilidad del método.
- Clasificación de los métodos numéricos.
- Métodos de un paso: Euler, Heun, Runge-Kutta, etc
- Control de error. Métodos con paso adaptativo. Método de Runge-Kutta-Fehlberg.
- Métodos multiplaso :método de Milne y método de Adams-Moulton. Estrategias predictor-corrector.
- Técnicas de Extrapolación. Algoritmo de Bulirsch-Stoer.
- Ecuaciones diferenciales de orden n > 1.
- Sistemas de ecuaciones diferenciales.
- PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA.
- Motivación : Ejemplos en Ingeniería Mecánica.
- El método de disparo para ecuaciones lineales y no lineales.
- El método de diferencias finitas para ecuaciones lineales y no lineales.
- Comparación de los métodos anteriores.
- El método de Rayleigh-Ritz.
- Ecuaciones en Derivadas Parciales.
- Introducción: Ecuación de Laplace, ecuación del calor y ecuación de ondas.
- Diferencias finitas.
- Criterios de convergencia y estabilidad.
- Métodos explícitos e implícitos.
- Ecuaciones hiperbólicas: la ecuación de ondas.
- Ecuaciones parabólicas: la ecuación del calor.
- Ecuaciones elípticas: la ecuación de Laplace.
- Análisis de las funciones de Bessel, Legendre, etc.
- Técnicas de Optimización.
- Planteamiento de problemas.
- Conceptos básicos : conjuntos factibles, función de coste, soluciones posibles y óptimas, etc.
- El método del Simplex : análisis e implementación.
- Teoría de la Dualidad.
- Modelos de redes y aplicaciones : El problema del transporte. Flujo y potencial en redes. Problema del flujo máximo y coste mínimo. Problema de la diferencia de potencial mínima.
- Extremos de funciones unidimensionales y multidimensionales.
- Métodos parabólicos.
- Métodos de descenso.
Profesorado
Bibliografía recomendada.
Bibliografía complementaria.
Última modificación : 17 de diciembre de 1.997